Volkov态和正负粒子对产生的关系
初步探讨
带电粒子在电磁场中的Dirac方程为
\[\begin{equation}\label{eq:dirac0} \left(i\gamma^\mu \partial_\mu -e\gamma^\mu A_\mu -m \right)\Psi =0 \end{equation}\]
Volkov 态是指带电粒子在电磁场中的Klein-Gordon方程的解，即令 \(i\gamma^\nu D_\nu +m\) 左作用于式\(\eqref{eq:dirac0}\)后的方程
\[\begin{equation}\label{eq:dirac1} \left(\partial^2+2ieA^\mu \partial_\mu -e^2A^2+\frac{ie}{2}\gamma^\nu\gamma^\mu F_{\nu\mu}+m^2\right)\Psi=0. \end{equation}\]
式\(\eqref{eq:dirac1}\) 的解， 此处不打算写出, 请参考文章：Volkov wave function: its orthonormality and completeness 的第3页。
假如我们知道了一个一阶微分方程 \[\begin{equation}\label{eq:yijie0} y'=f(x) \end{equation}\]
式\(\eqref{eq:yijie0}\)的通解为 \[\begin{equation}\label{eq:yijie0j} y=\int^x_0f(x)dx+C \end{equation}\]
同时我们对式\(\eqref{eq:yijie0}\)求一次导，可以得到二阶方程 \[\begin{equation}\label{eq:yijie1} y''=f'(x) \end{equation}\]
对于式\(\eqref{eq:yijie1}\)，也容易求得它的通解为 \[\begin{equation}\label{eq:yijie1j} y=\int^x_0f(x)dx+C_1 x+C_2 \end{equation}\]
注意，把式\(\eqref{eq:yijie1}\)的解\(\eqref{eq:yijie1j}\)代入到式\(\eqref{eq:yijie0}\)中，显然
所以，如果认为式\(\eqref{eq:yijie1j}\)也是式\(\eqref{eq:yijie0}\)的解，那就大错特错了！造成这个问题的原因是，二阶方程存在二个积分常数，而一阶方程只有一个积分常数，它们虽然只是一个简单的导函数关系，但是解空间却大为不同！二阶方程的解空间包含的一阶方程的解空间，随便找出一个二阶方程的解不一定满足一阶方程。所以方程\(\eqref{eq:dirac1}\)的Volkov态解并不是Dirac方程\(\eqref{eq:dirac0}\)的解，也就不能用这个方式来反驳Dirac方程的解不对！
其实还有一个方案，就是把 Volkov 态代入到 Dirac
方程，容易判断它根本不是Dirac方程的解！
2024-10-21 17:30 , 暂停讨论。
问题解析
- 原始理论是在准经典近似下发展的，其成功解释了恒定电场、交变电场等一些目前已经存在的理论的结果，所以其有成功的部分。
- 谢老师的点在于新理论应当包括已经的Volkov态, 其实在准经典近似中这个态与理论架构是不会有冲突的。
- 唐的观点在于指数因子的来源和普适性问题。
综合上述意见，近三天认真考虑了问题，得出结论：应当在原有理论的基础上拓展新的理论，使其适用性发展为普适理论。
理论依据
对于准经典近似，理论上波函数应当具备形式 \[\begin{equation}\label{eq:zjdjs0} \Psi \sim e^{i\frac{S}{\hbar}} \end{equation}\]
对处理电磁场中的带电粒子而言 \[\begin{equation}\label{eq:dcczlz0} S=-mc\int ds-\frac{e}{c}\int A_\mu dx^\mu - \frac{1}{16\pi c}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d\Omega \end{equation}\]
于是可得在准经典近似下，波函数可以写成电磁场部分与粒子部分的乘积，也就说电磁场的作用产生了粒子，而这个过程可以用准经典近似来考虑。这个电磁场部分为
\[\begin{equation}\label{eq:dccbf} e^{-\frac{ie}{c\hbar}\int A_\mu dx^\mu - \frac{i}{16\pi c\hbar}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d\Omega} \end{equation}\]
如果不去分析 Dirac 方程，单纯从准经典的角度也可以给出一个合理的说明。