量子力学中的一个对易关系

上一周在做量子力学作业的时候遇到了一个比较难处理的问题，算了很长时间。此题就是《高等量子力学》第6.13题，但是本文不计划列出具体计算过程，而是讨论在计算过程中遇到的一个对易算法问题。

经典矢量公式

\[ \vec{A} \times (\vec{B}\times\vec{C})+\vec{A}\cdot [\vec{B},\vec{C}]=0 \]

上式的含义为

\[ \vec{A} \times (\vec{B}\times\vec{C})+\vec{A}\cdot \vec{B}\vec{C}-\vec{A}\cdot \vec{C}\vec{B}=0 \]

或者我们把它理解为展开式，此结构是我在学习矢量分析时所采用的符号

\[ \vec{A} \times (\vec{B}\times\vec{C})=-\vec{A}\cdot \vec{B}\vec{C}+\vec{A}\cdot \vec{C}\vec{B} \]

矢量公式在量子力学中的算法

由于在量子力学中存在对易的考虑，所以上节最后边一项就不能这么写，而应当写为

\[ A\times (B\times C)=-A\cdot B C+\sum_i A_iBC_i\]

假如\([B,C]=0\),则上式写为

\[ A\times (B\times C)=-A\cdot B C+\sum_i A_iC_iB=-A\cdot B C+A\cdot C B\]

上式表达式和经典矢量公式在形式上是一致的。

假如\([A,B]=0\),则上式写为

\[ A\times (B\times C)=-A\cdot B C+\sum_i A_iC_iB=-A\cdot B C+B A\cdot C \]

如果考虑了对易，则正确的形式有两个，即

\[ A\times (B\times C)=-A\cdot B C+A\cdot C B +\sum_i A_i[B,C_i] \]

\[ A\times (B\times C)=-A\cdot B C+B A\cdot C +\sum_i [A_i,B]C_i \]

注意事项！！

符号\(A\cdot[B,C]\) 仅仅表示一个数学上的结构关系，不能够先计算\([B,C]\)然后再令\(A\)与之取内积，原因是在求对易的过程中不受参量的限制，这样有可能某些量会在求对易的过程中消失。其正确的算法 应当按分量分别计算，或按上文中的记号书写,其第k分量为

\[A\cdot[B,C]_k =\sum_i A_iB_iC_k-A_iB_kC_i\]